Обозначим точку пересечения диагоналей O.
Из условия известно, что сторона AB равна 12 см. Значит, сторона BC также равна 12 см (прямоугольник ABCD — прямоугольник).
Также известно, что отрезок AM равен 8 см. Так как OМ — медиана, а ОА — диагональ, то треугольник ΟАМ — прямоугольный (по свойству медианы).
Треугольник ΟАМ является прямоугольным треугольником, и к нему можно применить теорему Пифагора:
АО² = АМ² + OМ²
Так как АМ и ОМ известны, подставим их значения в формулу:
АО² = 8² + OМ²
АО² = 64 + OМ²
Снова возвращаемся к прямоугольнику. Обозначим точку пересечения диагоналей O. Используем свойство прямоугольника о равенстве диагоналей:
АО² + ОМ² = АМ² + ОВ²
Вместо АО² подставим 64 + ОМ²:
64 + ОМ² + ОМ² = 8² + ОВ²
64 + 2ОМ² = 8² + ОВ²
Перенесём все известные значения и приведём подобные слагаемые в левой части:
2ОМ² = 8² – 64 + ОВ²
2ОМ² = 0 + ОВ²
В правой части значение АВ² равно 12² (по свойству прямоугольника):
2ОМ² = 144
В итоге:
ОМ² = 144 / 2
ОМ² = 72
Теперь, зная значение ОМ², найдём АО:
АО² = 64 + ОМ²
АО² = 64 + 72
АО² = 136
Таким образом, АО = √136.
Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, нужно умножить длину его сторон:
Площадь = AB * BC
Площадь = 12 * 12
Площадь = 144 см².