Рассмотрим треугольник АСН. Пусть точка М делит сторону АС в отношении 3:1, то есть АМ = 3СМ. Пусть СМ = х, тогда АМ = 3х.
Также дано, что ЗАМ = 4СР, то есть ЗАМ = 4х. Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника АВС, как R.
Так как АМ и СР являются медианами, то можем записать, что:
СН:HM = 1:2,
ЗN:AN = 1:2.
У треугольника АВС, площадь которого равна 96, можно выразить двумя способами:
S = (AB * AC)/2 = (AN * AB * sin(A))/2,
S = (BC * AC)/2 = (CB * AC * sin(C))/2.
Распишем площадь по первой формуле, заменив значения сторон треугольника АВС:
96 = (AN * AB * sin(A))/2 = (3х * 4х * sin(A))/2 = 6х^2 * sin(A).
Также заметим, что треугольник АМС подобен треугольнику АВН по теореме о перпендикулярах, поскольку угол А над обеими сторонами АМ и АВ.
Тогда можно записать пропорцию:
МC/AB = HC/BN,
3х/4х = x/(2R),
3/(4R) = 1/2.
Разделим левую и правую части пропорции на 2/3:
1/(2R) = 2/3,
(2R) = 3/2,
R = (3/2)/2,
R = 3/4.
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3/4.