На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Пусть точка M является серединой стороны AB, а точка K на стороне AC такова, что угол ABK равен углу BKA. Также известно, что KB = KM. Нам нужно доказать, что 2AC = 3AB.
Для начала заметим, что из равенства KB = KM следует, что треугольники KMB и KMC равнобедренные, так как KM = KB, а также углы MKB и KMB равны, так как это внутренние углы треугольника KMB.
Поскольку угол ABK равен BKA, то углы ABK и BAK также равны. Но AB = BC (так как треугольник ABC равнобедренный), поэтому получаем, что углы ABC и BCA также равны.
Теперь рассмотрим треугольник AKM. Углы KAM и MKA равны, так как АK = MK (так как точка M – середина стороны АB) и углы MAK и MKA также равны (так как AM = KM и AK = KB).
Из этого следует, что треугольник AKM равнобедренный.
Теперь продлим сторону МК до пересечения с стороной ВС. Обозначим точку пересечения как L.
Поскольку треугольник AKM равнобедренный, то угол KAL также равен углу KLA.
Рассмотрим треугольник KBL. Углы KBL и LKB равны, так как это внутренние углы треугольника KBL, а также углы KLB и LKB равны, так как KB = KL (так как AM = MK).
Из этого следует, что треугольник KBL равнобедренный.
Таким образом, мы получили, что треугольник AKM и треугольник KBL равнобедренные. Из равнобедренности треугольников следует, что углы BAM и MBL равны между собой, а углы BMA и BLK также равны.
Заметим, что AB = BC, поэтому углы ABC и BAC равны между собой.
Получается, что угол ABC равен углу ABM + BMK + KBC.
Так как углы BAM и BMA равны, и углы BAM и MBL равны, получаем, что углы ABM и MBL также равны.
Аналогично, углы BMK и KBL равны.
А также углы KBC и CBM также равны.
Следовательно, угол ABC равен углу BMC.
Но углы ABC и BCA равны (так как треугольник ABC равнобедренный), поэтому углы BMC и BCA также равны.
Из этого следует, что треугольник BMC и треугольник ACB равны по построению.
Теперь мы можем применить теорему о средней линии в треугольнике и получить, что 2AC = 3MN.
Но MN равно AB (так как M – середина AB), поэтому 2AC = 3AB, что и требовалось доказать.
