На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано, что в остроугольном треугольнике ABC медиана BM и биссектриса AL пересекаются в точке Q. Прямая СQ пересекает сторону AB в точке E. Известно, что AM = AE. Нужно доказать, что AQ перпендикулярна EM.
Для начала обратим внимание на сегменты AM и MA. Известно, что AM = AE, а значит, AM = EM.
Также обратим внимание на то, что медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому AM = MC.
Теперь рассмотрим треугольник BQC. В нем MQ — медиана, а AL — биссектриса, и они пересекаются в точке Q. По теореме Ван Обеля о пересечении медианы треугольника MQ делит сторону BC пополам, а значит, BQ=QC.
Таким образом, мы имеем AM = MC и BQ = QC. Заметим, что треугольники AMQ и MQC являются равнобедренными, так как AM=MQ и BQ=QC, а также угол АМQ и угол МQC являются общими углами. Таким образом, AMQ конгруэнтное MQC (по двум сторонам и общему углу).
Из конгруэнтности следует, что углы AMQ и MQC равны. Но углы AMQ и EMQ являются смежными и дополнительными, и следовательно, они тоже равны.
Таким образом, угол AMQ=EMQ. Но угол AMQ является прямым углом (так как MQ – медиана и она делит сторону BC пополам) и следовательно, угол EMQ тоже прямой.
Таким образом, мы доказали, что AQ перпендикулярна EM.
