Пусть точка M делит боковую сторону треугольника HNY на две равные части, то есть HM = MN = NY/2.
Заметим, что треугольники HNM и NYM равнобедренные, так как HM = MN и HN = HY.
Поскольку угол напротив основания равнобедренного треугольника HNY равен 40°, то угол MHY тоже равен 40°.
Рассмотрим треугольник HMN. Из условия HN = 1 и угла MHY = 40° следует, что угол HNM равен 100° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Из равенства углов MHY и HNM следует, что треугольники MHY и HNM подобны. То есть, их соответствующие стороны пропорциональны.
Из соотношения сторон треугольников MHY и HNM следует, что HY/MN = HM/HN, или 1/(NY/2) = HM/1.
Упростим это соотношение: 2 = NY/HM.
Поскольку HM = NY/2, можно заменить HM в этом соотношении и получить 2 = NY/(NY/2).
Упростим дальше: 2 = 2 / 2 = 1.
Таким образом, мы получили, что 2 = 1, что является противоречием.
Значит, наше предположение, что NY/2 = HM, неверно.
Итак, мы доказали, что NY/2 > HM.
Тогда NY = 2 * HM.
Так как NY = 2 * HM, и NY/2 > HM, то NY > 2 * HM.
Из треугольников HMN и NYM следует, что HM < HN = 1. Таким образом, мы получили неравенство NY > 2 * HM > 2.
Учитывая, что NY > 2, можно сделать вывод, что NY > 2/3.
Таким образом, доказано, что NY > 2/3.