Для доказательства того, что ВС (СDН), расположим треугольник ВСМ в прямоугольнике ABCD. При этом сторона ВС будет совпадать с одной из сторон прямоугольника (например, стороной ВD).
Для начала построим треугольник ВСМ в прямоугольнике ABCD. Сторона ВС будет совпадать с одной из сторон прямоугольника – стороной ВD. Также известно, что сторона СМ равна 8 и сторона ВМ равна 10.
Теперь проведем продолжение стороны ВС за точку С и обозначим эту точку как N. Получим отрезок CN. Также проведем продолжения стороны ВМ за точку М и обозначим эту точку как P. Получим отрезок MP.
Так как ВС и МС являются сторонами треугольника ВСМ, а отрезки CN и NP являются их продолжениями, то треугольник BCN подобен треугольнику BMP по 2 сторонам.
То есть, отношение сторон треугольников равно:
CN/BC = NP/BM.
В прямоугольнике ABCD сторона BC является гипотенузой, а сторона BM – одним из катетов прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза BC равна квадратному корню из суммы квадратов катетов (BD и CD): BC = √(BD^2 + CD^2).
Таким образом, отношение CN/BC будет равно отношению CN/(√(BD^2 + CD^2)), а отношение NP/BM будет равно отношению NP/BD.
Известно, что ∠BCD прямой и сторона ВС продолжается за точку С. То есть, М лежит на продолжении стороны BD. Следовательно, отрезок BD можно продолжить до точки М, и это будет продолжением стороны ВМ. Таким образом, отношение NP/BD будет равно NP/ВМ.
Также известно, что сторона ВМ равна 10, а сторона СМ равна 8. Значит, NP равно разности стороны ВМ и стороны СМ: NP = ВМ – СМ.
Итак, у нас есть отношения CN/BC и NP/BM. Для доказательства того, что CN = NP, нам достаточно показать, что эти отношения равны.
Вспомним, что сторона ВС равна стороне ВD, то есть ее длина равна √(BD^2 + CD^2). Тогда отношение CN/BC будет равно CN/(√(BD^2 + CD^2)). А отношение NP/BM будет равно (ВМ – СМ)/ВМ.
Из теоремы Пифагора известно, что BC = √(BD^2 + CD^2). Подставляем это в формулу отношения CN/BC: CN/(√(BD^2 + CD^2)) = CN/BC.
Также из изначальных условий известно, что NP = ВМ – СМ. Подставляем это в формулу отношения NP/BM: (ВМ – СМ)/ВМ = NP/BM.
У нас получилось, что CN/BC = CN/BC и NP/BM = NP/BM. Это значит, что треугольники BCN и BMP подобны по 2 сторонам и соответствующим углам.
Таким образом, треугольники BCN и BMP равны, а значит и их стороны равны. В частности, ВС (CDН).