Для решения задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и теорему Пифагора.
Шаги решения:
1. Обозначим точку пересечения прямых A1P и AQ за M.
2. Так как A1P:PB = 1:1 и AQ:QD = 2:1, то расстояние MP равно расстоянию MQ.
3. Рассмотрим треугольник A1MQ. Так как A1P:PB = 1:1, то отношение сторон треугольника A1MQ равно отношению сторон треугольника ABCDA1B1D1, то есть AM:MA1 = a:3a = 1:3.
4. Также, так как AQ:QD = 2:1, то отношение сторон треугольника AMQ равно отношению сторон треугольника ABCDA1B1D1, то есть AM:AD = a:3a = 1:3.
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что треугольники A1MQ и AMQ подобны и соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом 1:3.
6. Обозначим расстояние от точки D1 до прямой PQ за h. Тогда расстояние от точки D1 до точки М равно 3h.
7. Используя свойство подобных треугольников, получаем что AM:MQ = AD:D1Q = 3h:h = 3:1.
8. Из пункта 7 следует, что AM = 3h, MQ = h, их сумма равна 4h. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMQ, получаем: AM^2 + MQ^2 = AQ^2.
9. Подставляем известные значения: (3h)^2 + h^2 = (2a)^2. Упрощая уравнение, получаем: 10h^2 = 4a^2.
10. Деля обе части уравнения на 10, получаем: h^2 = 0.4a^2.
11. Берем квадратный корень из обоих частей уравнения: h = 0.63a.
12. Таким образом, расстояние от точки D1 до прямой PQ равно 0.63a.
Ответ: Расстояние от точки D1 до прямой PQ равно 0.63a.