Для решения данной задачи воспользуемся косинусным законом.
1. Пусть длина стороны АВ равна х.
2. Тогда длина стороны АС равна 16 – х, так как АВ + АС = 16 см.
3. В прямоугольном треугольнике АНВ применим теорему Пифагора:
АН² = АВ² + ВН².
Подставим значения: АН² = х² + (6 см)² = х² + 36 см².
4. АН² = АС² + СН².
Подставим значения: АС² + СН² = х² + 36 см².
5. Так как СН = 2 см, получаем: АС² + (2 см)² = х² + 36 см².
АС² + 4 см² = х² + 36 см².
6. Перенесем все члены с переменными на одну сторону уравнения и константы на другую:
АС² – х² = 36 см² – 4 см².
АС² – х² = 32 см².
7. Факторизуем левую часть разности квадратов:
(АС + х)(АС – х) = 32 см².
8. Подставим значение 16 – х вместо АС в уравнение:
(16 – х + х)(16 – х – х) = 32 см².
(16)(16 – 2х) = 32 см².
9. Распределим коэффициент перед скобкой:
256 – 32х = 32 см².
10. Перенесем константу на другую сторону:
256 = 32х + 32 см².
11. Упростим выражение:
224 = 32х.
12. Разделим обе стороны на 32:
х = 7.
13. Теперь найдем длину стороны АС:
АС = 16 – х = 16 – 7 = 9 см.
Таким образом, длина стороны АС равна 9 см.