Пусть сторона основания треугольной пирамиды равна а см, а радиус окружности, вписанной в это основание, равен r см.
Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Так как она правильная, то вершина пирамиды, центр окружности и точки касания окружности с основанием образуют прямоугольный треугольник. Высота пирамиды является медианой этого треугольника, проходящей из вершины к основанию и перпендикулярной к его сторонам.
По теореме Пифагора в этом треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
r^2 = (а/2)^2 + h^2,
где h – высота пирамиды.
Разложим радиус r на две части с помощью вертикали из вершины, проходящей через точку касания окружности с основанием. Получим:
r = h + r1,
где r1 – радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который образован вершиной пирамиды, центром окружности и точкой касания окружности с основание.
Подставив полученное выражение для r в первое уравнение, получим:
r^2 = (а/2)^2 + (h + r1)^2.
Отсюда находим h:
h = sqrt(r^2 – (а/2)^2) – r1.
Если r1 равен нулю (т.е. основание пирамиды – правильный треугольник, а не прямоугольный), то h = sqrt(r^2 – (а/2)^2).
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды. Боковая поверхность пирамиды представляет собой три равных равнобедренных треугольника: два треугольника, которые образуются сторонами основания и один треугольник – боковой равнобедренный треугольник, который образуется основанием и боковой гранью пирамиды. Площадь каждого равнобедренного треугольника можно посчитать по формуле S = (a * h) / 2, где a – длина основания, h – высота. Так как треугольников три, умножим площадь каждого треугольника на три и сложим все площади.
Ответом будет полная поверхность пирамиды, равная сумме базовой поверхности и боковой поверхности.