Для начала, найдем длину медианы АМ и СК. Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как соединим А и М, то берем середину ВС (назовем ее О).
Определим координаты точек А (0,0), В (4√13,0) и С (-2√37,0). Найдем координаты точки О по формуле координаты середины отрезка ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
О(x1+x2)/2, (y1+y2)/2) =
= (4√13 + (-2√37))/2, (0+0)/2) =
= (2√13 – √37)/2, 0).
Вычислим длину медианы АМ по формуле √((x2−x1)2 + (y2−y1)2).
AM = √(((2√13 – √37)−0)2 + (0−0)2) =
= √((2√13 – √37)2) =
= 2√13 – √37.
Аналогично, найдем длину медианы СК. Координаты точки К равны ((0+(-2√37))/2, (0+0)/2) или (-√37/2, 0). A = (-√37/2, 0).
SK = √(((-√37/2)−0)2 + (0−0)2) =
= √(((-√37/2)2) =
= √(37/4) =
= √(37)/2.
Теперь, используем формулу для определения угла между медианами треугольника: cosθ = (AM2 + SK2 – AS2) / (2 * AM * SK),
где AS – это сторона треугольника АС.
Так как угол находится между медианами АМ и СК треугольника АВ, стороной АС будет АО.
Заменим значения:
cosθ = ((2√13 – √37)2 + (√(37)/2)2 – (144√3)2) / (2 * (2√13 – √37) * √(37)/2).
Упростим:
cosθ = ((52 – 4√13√37 + 37) / (4√13 – √37)) * 37/2.
Умножим числитель и знаменатель на 2:
cosθ = (2(52 – 4√13√37 + 37) / (2(4√13 – √37))) * 37/2.
Сократим 2 и 37/2:
cosθ = (26 – 2√13√37 + 37) / (4√13 – √37).
Получили значение cosθ. Теперь найдем угол θ с помощью обратной функции cos – arccos.
θ = arccos((26 – 2√13√37 + 37) / (4√13 – √37)).
Округлим значение угла θ до нужной точности с помощью калькулятора.