Для доказательства данных утверждений воспользуемся свойствами куба.
1) Для доказательства первого утверждения А1В1В1C, рассмотрим грани куба и отрезки, соединяющие противоположные вершины этих граней. Так как куб симметричен, эти отрезки равны:
А1В1 = АВ,
В1С = ВС.
Значит, А1В1С – это прямоугольный параллелепипед, у которого А1В1 = АВ и В1С = ВС.
2) Для доказательства второго утверждения А1СBD, проведем две диагонали куба:
– Диагональ АВ соединяет противоположные вершины А и В;
– Диагональ СD соединяет противоположные вершины С и D.
Рассмотрим треугольник А1В1D, образованный этими диагоналями. Так как А1В1 = АВ, а BD является ребром куба, то треугольник А1В1D равнобедренный.
Кроме того, по свойствам куба, все его диагонали равны между собой, значит, BD = А1С.
Таким образом, получаем, что треугольник А1В1D равнобедренный, и боковое ребро А1С равно диагонали BD.
Из этих двух утверждений следует, что А1Пр В1С и А1СВD, что и требовалось доказать.