a) Пересечение плоскостей ABD и NACK будет являться прямой линией. Для ее нахождения найдём точку пересечения прямой BN (лежащей в плоскости NACK) с плоскостью ABD.
Так как M – середина ребра AB, то точка пересечения прямой BN с плоскостью ABD будет равноудалена от M и K.
Найдем координаты точек M, K и B:
M = (A + B) / 2,
K = B + t*(B – N),
B = (0, 0, 0).
Также из условия известно, что точка L – середина ребра BC, поэтому B + C = 2L.
Находим C:
C = 2L – B = 2((B + C) / 2) – B = B + C – B = C.
Теперь найдем точки M, K и B:
A = (a1, a2, a3),
B = (0, 0, 0),
C = (c1, c2, c3).
Найдем M:
M = (A + B) / 2 = ((a1, a2, a3) + (0, 0, 0)) / 2 = (a1/2, a2/2, a3/2).
Найдем K:
K = B + t*(B – N) = (0, 0, 0) + t*((0, 0, 0) – (a1/2 + c1/2, a2/2 + c2/2, a3/2 + c3/2)) = (0, 0, 0) + t*(-a1/2 – c1/2, -a2/2 – c2/2, -a3/2 – c3/2) = (-t*a1/2, -t*a2/2, -t*a3/2).
Точка пересечения лежит на прямой BN, поэтому имеет вид (0, 0, 0) + s*((-t*a1/2, -t*a2/2, -t*a3/2)). Она также равноудалена от M и K:
s*((-t*a1/2, -t*a2/2, -t*a3/2) – (a1/2, a2/2, a3/2)) = s*(-t*a1/2 – a1/2, -t*a2/2 – a2/2, -t*a3/2 – a3/2).
Для того чтобы точка лежала и на плоскости ABD, необходимо, чтобы сумма компонент точки равнялась 0:
s*(-t*a1/2 – a1/2 + -t*a2/2 – a2/2 + -t*a3/2 – a3/2) = s*(-a1*(t+1)/2 – a2*(t+1)/2 – a3*(t+1)/2) = 0.
Так как это должно выполняться для любого t и s, то условие выполняется только в том случае, когда сумма компонент равна 0:
-a1*(t+1)/2 – a2*(t+1)/2 – a3*(t+1)/2 = 0.
Итак, пересечение плоскостей ABD и NACK будет линией, заданной уравнением -a1*(t+1)/2 – a2*(t+1)/2 – a3*(t+1)/2 = 0.
b) Пересечение плоскостей BDKN и ADC также будет являться прямой линией. Найдем точку пересечения прямой BN (лежащей в плоскости BDKN) с плоскостью ADC.
Снова используем точку M и точку K, найденные в предыдущем пункте. Для того чтобы точка пересечения лежала и на прямой BN, и на плоскости ADC, необходимо, чтобы она была равноудалена от точек M и K, а также лежала в плоскости ADC.
Плоскость ADC задается уравнением x*(a1 – c1) + y*(a2 – c2) + z*(a3 – c3) + D = 0, где D – неизвестный коэффициент.
Таким образом, искомая прямая линия будет задана уравнением:
(x, y, z) = (0, 0, 0) + s*((-t*a1/2, -t*a2/2, -t*a3/2) – (a1/2, a2/2, a3/2)).
А чтобы точка лежала в плоскости ADC:
0*(a1 – c1) + 0*(a2 – c2) + 0*(a3 – c3) + D = 0,
D = 0.
Итак, пересечение плоскостей BDKN и ADC будет линией, заданной уравнением (x, y, z) = (0, 0, 0) + s*((-t*a1/2, -t*a2/2, -t*a3/2) – (a1/2, a2/2, a3/2)). Ответ обоснован.