Биссектриса АК треугольника ABC делит сторону BC пополам. Периметр треугольника ABC равен 36 см, периметр треугольника АКС равен 30 см. Найти длину биссектрисы АK.

Пусть AB = c, BC = a, AC = b, AK = x, KS = y, AS = z. Из условия известно, что BC делится биссектрисой AK пополам, поэтому BS = SC = a/2.

Также известно, что периметр треугольника ABC равен 36 см, что означает, что a + b + c = 36.

Периметр треугольника AKS равен 30 см, поэтому x + y + z = 30.

Используя формулу для длины биссектрисы треугольника AKS, можно записать следующее:
x = 2yz / (y + z).

Необходимо найти длину биссектрисы AK, то есть значение x.

Мы можем использовать эти три уравнения для решения задачи:
1) a + b + c = 36,
2) x + y + z = 30,
3) x = 2yz / (y + z).

Шаги решения:
1. Решим третье уравнение относительно x: x(y + z) = 2yz.
2. Разрешим x относительно y и вставим его во второе уравнение: (2yz / (y + z))(y + z) + y + z = 30.
3. Упростили: 2yz + y^2 + z^2 + yz + y + z = 30.
4. Объединим коэффициенты при двойных переменных и при у в квадрате: y^2 + z^2 + 3yz + y + z = 30.
5. Используем второе уравнение a + b + c = 36 для подстановки значений b и c: a = 36 – b – c.
6. Запишем новое уравнение для y и z: (36 – b – c)^2 + z^2 + 3yz + (36 – b – c) + z = 30.
7. Упростим: 1296 – 72b – 72c + b^2 + 2bc + c^2 + z^2 + 3yz + z = 30.
8. Перегруппируем: b^2 + c^2 – 72b – 72c + 2bc + z^2 + 3yz + z – 1266 = 0.
9. Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно b и c, и решим его.
10. Найденные значения b и c подставим в уравнение для y и z, и найдем значения y и z.
11. Подставим найденные значения y и z в уравнение для x: x = 2yz / (y + z).
12. Таким образом, найдена длина биссектрисы AK.