Биссектриса острого угла A равнобедренной трапеции ABCD пересекает её основание в точке K. В этой трапеции расположены две равные окружности радиуса r, касающиеся её сторон и друг друга, причем K – одна из точек касания. Найдите площадь трапеции ABCD.

Обозначим через M и N точки касания окружностей с биссектрисами углов A и C соответственно. Так как окружности равны и касаются сторон трапеции, то AM = BM и CN = DN.

1. Рассмотрим треугольник ABM. В нем углы AMB и A смежные и потому дополняющие друг друга. Значит, AM + BM = AB. Но AM = BM, поэтому AB = 2*AM = 2*r, где r – радиус окружности.

2. То же самое можно сказать и про треугольник CDN: CD = 2*r.

3. Высота трапеции, проведенная из вершины A, проходит через центры окружностей, поскольку радиусы окружностей и биссектрисы угла A параллельны и равны друг другу. Значит, AK является высотой трапеции.

4. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (AB + CD)*h/2, где h – высота трапеции.

5. Подставляем найденные значения: S = (2*r + 2*r)*AK/2 = 4*r*AK/2 = 2*r*AK.

Ответ: площадь трапеции ABCD равна S = 2*r*AK.