На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть AB и CD – основания трапеции, причем AB < CD. Пусть EF и GH - биссектрисы тупых углов трапеции, пересекающиеся в точке O. Поскольку EF и GH являются биссектрисами трапеции ABCD, то точка O - это точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть AB = x, тогда CD = 3x, так как боковая сторона трапеции в 3 раза длиннее меньшего основания. Пусть AO = a, BO = b, таким образом, CO = 3a и DO = 3b. Так как биссектриса разделяет угол пополам, то AO:OC = AB:CD, и аналогично BO:OD = AB:CD. Используя свойства сходных треугольников, получим следующие соотношения: a/3a = x/3x 1/3 = 1/3 b/3b = x/3x 1/3 = 1/3 Очевидно, что a = 3a и b = 3b. Значит, точка O - середина между точками A и C и середина между точками B и D. Таким образом, треугольник EFO подобен треугольнику AOC, а треугольник GHO подобен треугольнику BOD. Отсюда мы можем сделать вывод, что треугольники AOC и BOD также подобны. Теперь рассмотрим отношение площади трапеции ABCD к площади треугольника AOC. Поскольку EF || CD и EF = CD / 2, то треугольник EFO является подобным треугольнику AOC с коэффициентом подобия 1/2. Значит, S(EFO) = (1/2)^2 * S(AOC). То есть площадь треугольника EFO в 4 раза меньше площади треугольника AOC. Аналогично, площадь треугольника GHO в 4 раза меньше площади треугольника BOD. Таким образом, площадь треугольника EFO равна S(EFO) = (1/4) * S(AOC). Так как треугольники EFO и GHO равны между собой, то площадь треугольника GHO также равна S(GHO) = (1/4) * S(AOC). Теперь мы знаем, что площадь треугольника EFO = площадь треугольника GHO = (1/4) * площадь треугольника AOC. Таким образом, отношение площади трапеции ABCD к площади треугольника AOC = (площадь треугольника AOC + площадь треугольника EFO + площадь треугольника GHO) / площадь треугольника AOC = (1 + 1/4 + 1/4) = 5/4. Ответ: отношение площади трапеции к площади треугольника равно 5/4.
