Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) сколько процентов площади боковой поверхности пирамиды составляет площадь основания пирамиды; в) объем пирамиды.

а) Площадь полной поверхности пирамиды можно найти, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания – это площадь равностороннего треугольника, формула для которой: S_осн = (a^2 * sqrt(3))/4, где a – длина стороны основания. В данной задаче угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Это означает, что основание пирамиды – равносторонний треугольник. Так как длина бокового ребра равна 12 см, сторона основания равна 12 см. Подставим значение в формулу и найдем площадь основания: S_осн = (12^2 * sqrt(3))/4 = 36 * sqrt(3) см^2.

Площадь боковой поверхности равна площади четырех равносторонних треугольников, каждый из которых имеет сторону основания равную 12 см и угол между стороной основания и боковым ребром равный 60°. Формула для площади такого треугольника: S_тр = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a – сторона основания. Подставим значение и найдем S_тр: S_тр = (12^2 * sqrt(3))/4 = 36 * sqrt(3) см^2. Умножим полученное значение на 4, так как четыре таких треугольника в пирамиде: S_бок = 4 * S_тр = 4 * (36 * sqrt(3)) = 144 * sqrt(3) см^2.

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности, чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды: S_пол = S_осн + S_бок = (36 * sqrt(3)) + (144 * sqrt(3)) = 180 * sqrt(3) см^2.

б) Чтобы найти процент площади боковой поверхности пирамиды от площади основания, поделим площадь боковой поверхности на площадь основания и умножим на 100: (S_бок / S_осн) * 100. Подставим значения и вычислим процент: ((144 * sqrt(3))/(36 * sqrt(3))) * 100 = (4/1) * 100 = 400%.

в) Объем пирамиды можно найти, используя формулу: V = (S_осн * h) / 3, где S_осн – площадь основания, h – высота пирамиды. Так как у пирамиды основание равносторонний треугольник, то высота – это высота равностороннего треугольника, которая может быть найдена как h = (sqrt(3)/2) * a, где a – длина стороны основания. Подставим значения и найдем высоту: h = (sqrt(3)/2) * 12 = 6 * sqrt(3) см. Теперь подставим значения в формулу и найдем объем: V = ((36 * sqrt(3)) * (6 * sqrt(3))) / 3 = (36 * 6 * sqrt(3) * sqrt(3)) / 3 = 216 см^3.

Итак, ответы: а) площадь полной поверхности пирамиды равна 180 * sqrt(3) см^2; б) площадь боковой поверхности составляет 400% площади основания; в) объем пирамиды равен 216 см^3.