Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника, а также формулу площади поверхности пирамиды.
1. Найдем высоту треугольника, образованного боковым ребром, плоскостью основания и отрезком, соединяющим середины бокового ребра и основания. Обозначим высоту треугольника как h.
Применим теорему Пифагора к правильному треугольнику, образованному боковым ребром, серединой основания и вершиной пирамиды:
(1/2 * b)^2 + h^2 = a^2,
где a – длина стороны правильного треугольника (сторона основания треугольной пирамиды),
b – длина бокового ребра.
Подставим известные значения:
(1/2 * a)^2 + h^2 = (5)^2.
Также, так как угол между плоскостью основания и боковым ребром равен 45°, то мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника и получить, что a = b / sqrt(2).
2. Найдем соотношение между a и b с использованием свойства прямоугольных треугольников:
sin(45°) = a / b.
Подставим значение a: sin(45°) = (b / sqrt(2)) / b.
Решим уравнение относительно b:
1 / sqrt(2) = b / b,
1 / sqrt(2) = 1,
b = sqrt(2).
3. Подставим полученное значение b в уравнение, связывающее длину стороны основания треугольника и высоту:
(1/2 * sqrt(2))^2 + h^2 = 5^2,
1/4 * 2 + h^2 = 25,
1/2 + h^2 = 25,
h^2 = 25 – 1/2,
h^2 = 24 1/2,
h^2 = 49/2.
4. Найдем высоту h, это будет:
h = sqrt(49/2),
h = 7/sqrt(2),
h = 7 * sqrt(2) / (sqrt(2) * sqrt(2)),
h = 7 * sqrt(2) / 2.
5. Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, используем формулу:
S = S основания + S боковой поверхности.
Поскольку основание имеет форму равностороннего треугольника, его площадь можно найти по формуле:
S1 = (a^2 * sqrt(3)) / 4,
где a – длина стороны треугольника.
S1 = (sqrt(2)^2 * sqrt(3)) / 4,
S1 = 2 * sqrt(3) / 4,
S1 = sqrt(3) / 2.
Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
S2 = (1/2) * a * p,
где p – периметр основания.
Поскольку у нас равносторонний треугольник, периметр равен 3 * a:
S2 = (1/2) * sqrt(2) * 3,
S2 = (3/2) * sqrt(2).
Теперь можем составить формулу для площади полной поверхности:
S = S1 + S2.
Подставим известные значения:
S = sqrt(3) / 2 + (3/2) * sqrt(2).
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна sqrt(3) / 2 + (3/2) * sqrt(2).