Пусть а — ребро основания пирамиды, h — высота. Поскольку это правильная треугольная пирамида, угол p, образованный линией боковой поверхности и плоскостью основания, равен 60°.
Находим высоту боковой грани h₁ треугольника, образованного ребром основания и отрезком, соединяющим середины его сторон. Поскольку ABC — равносторонний треугольник, h₁ = (a√3)/2.
Находим площадь боковой поверхности Sбок, используя площадь треугольника, образованного ребром основания и двумя отрезками, соединяющими его середины.
Sтр = (a*h₁)/2 = (a*(a√3)/2)/2 = (a²√3)/4.
Получаем Sбок = 3*Sтр = 3(a²√3)/4.
В итоге объем пирамиды V = (Sбок*h)/3 = (3(a²√3)/4)*(a√3)/2 = (3a³√3)/8.
Ответ: объем пирамиды равен (3a³√3)/8.