Построим треугольник ABC, в котором заданный правильный треугольник с центром окружности O является вписанным.
Заметим, что отрезок OD, проведенный из центра окружности O перпендикулярно плоскости треугольника, является высотой треугольника ABC, опущенной из вершины A.
Также, точка D находится на расстоянии 14 см от сторон треугольника. Пусть точка E – точка пересечения высоты OD с грани треугольника BC.
Тогда, так как треугольник ABC является правильным, отрезок AE является медианой и высотой одновременно. Так как треугольник ABC правильный, AE также является перпендикуляром к стороне BC.
Отрезок AE делит сторону BC на две равные части, поэтому отрезок BE равен половине стороны треугольника. Пусть сторона треугольника равна a.
Таким образом, BE = a/2.
Из прямоугольного треугольника ADE можно выразить значение BE с помощью теоремы Пифагора:
BE^2 = AE^2 – AB^2 = (OD + DE)^2 – OD^2 = DE^2 + 2 * OD * DE.
Так как DE = 14 см и OD = 6 см, подставляем эти значения:
(BE)^2 = 14^2 + 2 * 6 * 14 = 196 + 168 = 364.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
BE = √364 = √4 * √91 = 2√91.
Так как BE = a/2, получаем:
a/2 = 2√91.
Умножим обе части уравнения на 2:
a = 4√91.
Таким образом, сторона треугольника равна 4√91 см.
Окончательный ответ: сторона треугольника равна 4√91 см.