На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано: трапеция ABCD, основания которой обозначены как AB и CD, и плоскость a, проходящая через основание AD, не пересекающая сторону BC.
Чтобы доказать, что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, параллельна плоскости a, докажем, что эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения граней трапеции ABCD с плоскостью a.
Пусть E – точка пересечения стороны AB с плоскостью a, и F – точка пересечения стороны CD с плоскостью a. Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через середины сторон AB и CD, и прямой EF, как M.
Так как M – середина стороны EF, то EM = MF.
Предположим, что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, не параллельна плоскости a. Тогда существует другая прямая, проходящая через точку M и пересекающая плоскость a под углом.
Обозначим эту прямую как L и точку ее пересечения с плоскостью a как N.
Так как EM = MF, а прямая L пересекает плоскость a под углом, прямая L должна быть наклонна относительно плоскости a.
Однако, так как BC не принадлежит плоскости a, то EM и FM являются проекциями сторон AB и CD на плоскость a соответственно, что означает, что прямая, проходящая через точку M и параллельная прямой L, также должна пересекать плоскость a. Но это невозможно, так как плоскость a уже пересекается прямой EF.
Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, не параллельна плоскости a, неверно.
Следовательно, прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, параллельна плоскости a.
