Выберем систему координат с началом в точке A и положительными направлениями осей AB и AC. Так как середина стороны AB является началом координат, координаты точки P будут (0, h/2).
По условию известно, что сторона квадрата ABC равна 8√5/5. Обозначим ее значение за a.
Заметим, что треугольник AHP прямоугольный, так как сторона PH перпендикулярна стороне AB и AHP содержит прямой угол в вершине P.
Используя теорему Пифагора в треугольнике AHP, можем записать:
AH^2 + HP^2 = AP^2
AH = a/2 (половина стороны квадрата), HP = √5 (дано)
(a/2)^2 + (√5)^2 = (AP)^2
a^2/4 + 5 = (AP)^2
Так как осталось найти расстояние от точки P до вершины квадрата с координатами (a, 0), то значение AP равно a.
a^2/4 + 5 = a^2
5 = 3a^2/4
20 = 3a^2
a^2 = 20/3
a = √(20/3) = (2√5)/√3 = (2√15)/3
Таким образом, сторона квадрата равна (2√15)/3.
Расстояние от точки P до вершины квадрата с координатами (a, 0) равно a, то есть (2√15)/3.