Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в токе К. Докажите , что ВК=КС.

Пусть точка М — середина стороны АВ треугольника АВС, а точка К — точка пересечения прямой, проходящей через М и параллельной стороне AC, со стороной BC.

1. Поскольку прямая, проходящая через М, параллельна стороне AC, то треугольник АВМ подобен треугольнику АСВ в соотношении 1:2. Это следует из пропорциональности сторон.

2. Пусть ВК = х и КС = у. Тогда ВМ = МК = КС = х + у.

3. Так как треугольник АВМ подобен треугольнику АСВ в соотношении 1:2, то углы АВМ и АСВ равны. Таким образом, угол АВК равен углу АСК.

4. Поскольку угол ВКМ равен углу КСМ, а углы АВК и АСК равны, то треугольники ВКМ и КСМ подобны по двум углам.

5. Так как два треугольника подобны и стоят на одном основании, их высоты (ВК и КС) должны быть пропорциональны. То есть, ВК/КС = ВМ/МК = 2/1.

6. Таким образом, ВК = 2КС.

7. Но ВК = КС + КС по построению (ВМ = МК = КС), поэтому 2КС = КС + КС.

8. Отсюда следует, что КС = ВК.

Таким образом, ВК = КС, что и требовалось доказать.