Пусть сторона ромба равна a.
1. Так как BAD = 45°, то BCD = 180° – BAD – BDA = 180° – 45° – 45° = 90°.
2. Из прямоугольного треугольника BCD можно найти сторону BC, зная сторону AB и AD.
BC = √(AB^2 – AC^2) = √(a^2 – (a/2)^2) = √(a^2 – a^2/4) = √(3a^2/4) = √(3a^2)/2 = √3a/2.
3. Пусть точка M лежит на стороне BC и AM = h.
4. Из угла BADM = 60° следует, что угол MBC = 90° – 60° = 30°. Тогда есть прямоугольный треугольник BMC с углом MBC = 30° и гипотенузой BC = √3a/2.
5. Так как BM/BC = sinMBC = sin30° = 1/2, то BM = (1/2) * BC = (1/2) * √3a/2 = √3a/4.
6. Также из прямоугольного треугольника ABM можно найти сторону AM (высоту ромба), зная BM и AB:
AM = √(AB^2 – BM^2) = √(a^2 – (√3a/4)^2) = √(a^2 – 3a^2/16) = √(13a^2/16) = √13a/4.
7. Из условия задачи известно, что расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4/3. Поскольку BD – высота ромба, то BD = AM. Таким образом, √13a/4 = 4/3.
8. Возводим уравнение √13a/4 = 4/3 в квадрат и умножаем на 16:
(13a/4)^2 = (4/3)^2 * 16,
13a^2 = 16 * 16 * 3^2 / 4^2,
13a^2 = 9*16^2/16,
a^2 = (9*16^2)/(16*13),
a^2 = 9*16/13,
a^2 = 144/13,
a = √(144/13) = 12/√13.
Таким образом, сторона ромба равна 12/√13.