Пусть точка M – середина отрезка FK. Так как AM является медианой треугольника AKF, то он делит её на два равных по площади треугольника AMK и аналогичный ему треугольник FMK.
Площадь треугольника AMK равна 1/2 * AE * AM = 1/2 * 8 * AM = 4 * AM.
Площадь треугольника FMK равна 1/2 * FK * FM * sin(∠FKM) = 1/2 * FK * FM * sin(∠AFK).
Заметим, что AMK и FMK имеют одинаковую площадь, поэтому:
4 * AM = 1/2 * FK * FM * sin(∠AFK).
Также из условия задачи известно, что AF : FK = 1 : 3, то есть AF = FK / 3.
Таким образом, имеем:
4 * AM = 1/2 * FK * FM * sin(∠AFK)
4 * AM = 1/2 * FK * (FM * sin(∠AFK))
4 * AM = 1/2 * FK * AF
8 * AM = FK * AF
8 * AM = FK * (FK / 3)
Приведём получившееся уравнение к более простому виду:
24 * AM = FK^2.
Так как M – середина отрезка FK, то AM = FK / 2. Подставим это значение в уравнение:
24 * (FK / 2) = FK^2
12 * FK = FK^2
FK^2 – 12 * FK = 0
FK * (FK – 12) = 0.
Отсюда возникает два варианта: FK = 0 или FK = 12.
Однако, по условию задачи точка F лежит между точками A и K, поэтому FK не может быть равно 0.
Таким образом, FK = 12.
Ответ: FK = 12 см.