Через точку М, лежащую между параллельными плоскостями а и В, проведены прямые а и б. Прямая а пересекает плоскости а и в в точках А1 и А2 соответственно, прямая в в точках В и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В1 – 12 см, В.О: OB: 3:4

Дано: точка M между плоскостями a и b, прямые a и b, пересекающие a и b в точках A1 и A2, и B1 и B2 соответственно. Также дано, что A2B1 = 12 см, и OB делится в отношении 3:4 (то есть длина OB составляет 3/7 от длины AB).

Нужно найти: длину отрезка A1B1.

Решение:
1. Обозначим длину отрезка AB через x.
2. Так как OB делится в отношении 3:4, то длина OB составляет 3/7 от длины AB. Значит, OB = (3/7)x, а AB = OB + BO = (3/7)x + (4/7)x = x.
3. Так как A2B1 = 12 см, то A2O + OB + B1O = A2B1 = 12 см. Но A2O = AO, B1O = BO, и сумма AOB = AB = x, поэтому AO + BO = x – 12 см.
4. Так как AB = x, AO + OB = x – 12 см, и OB = (3/7)x, то AO = x – 12 см – (3/7)x = (4/7)x – 12 см.
5. Теперь рассмотрим треугольник A1OB1. Он является подобным треугольнику AOB, так как A1B1 || AB (по условию), и соотношение сторон треугольников A1OB1 и AOB содержит отрезок A1B1.
6. Так как A1O = AO и B1O = BO, то треугольники A1OB1 и AOB подобными, и их соотношение сторон равно соотношению соответствующих сторон: A1B1 / AB = A1O / AO = B1O / BO.
7. Заметим, что A1O = AO = (4/7)x – 12 см и BO = (3/7)x. Подставим эти значения в соотношение сторон: A1B1 / x = (4/7)x – 12 см / ((4/7)x – 12 см + (3/7)x).
8. Упростим полученное соотношение: A1B1 / x = (4/7)x – 12 / (7/7)x = (4x – 84) / 7x.
9. Так как A1B1 / x = A1B1 / AB, то A1B1 / AB = (4x – 84) / 7x.
10. Мы знаем, что AB = x, поэтому A1B1 / x = (4x – 84) / 7x.
11. Подставим значение A1B1 = 12 см и решим уравнение относительно x: 12 / x = (4x – 84) / 7x.
12. Разделим обе части уравнения на 12 и переместим отрицательные члены влево: (4x – 84) / 7x = 1 / 12.
13. Умножим обе части уравнения на 12 * 7x: 12 * 7x * (4x – 84) / 7x = 1 * 12 * 7x / 12.
14. Упростим полученное уравнение: 4x – 84 = 7x.
15. Перенесем все члены с x влево и числовые члены вправо: 7x – 4x = 84.
16. Упростим уравнение: 3x = 84.
17. Разделим обе части уравнения на 3: x = 84 / 3 = 28.
18. Теперь, когда мы знаем значение x, подставим его в уравнение для A1B1 / AB: A1B1 / 28 = (4 * 28 – 84) / (7 * 28).
19. Выполним вычисления: A1B1 / 28 = (112 – 84) / 196 = 28 / 196 = 7 / 49.
20. A1B1 / 28 = 7 / 49 означает, что A1B1 = (7 / 49) * 28 = 4 см.

Ответ: длина отрезка A1B1 равна 4 см.