Пусть точка D — середина стороны АС, а точка E — середина стороны АВ. Также обозначим точку К как λ(ВК : КС), то есть К делит сторону ВС в отношении λ : 1-λ.
Обратим внимание, что медианы треугольника АВС делятся точкой пересечения в отношении 2:1. То есть CD : MD = 2:1. Также, по теореме Фалеса, медиана CD параллельна стороне ВС и делит ее в том же отношении. Из этого следует, что ВК : KC = 2:1.
Теперь рассмотрим треугольник АКМ. В нем главная диагональ AD является медианой. Следовательно, она делит сторону ВС в отношении 2:1. При этом мы знаем, что ВК : KC = 2:1. Поэтому ВК делит сторону ВС также в отношении 2:1. Это означает, что λ = 2.
Таким образом, точка К делит сторону ВС в отношении ВК : КС = 2:1.