Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пеесекающая сторону AD а точке P так, что BO = OP. Докажите, BP перпендикулярна AD. Начертите рисунок к задачи.

Для начала нарисуем рисунок.

D___________C
/| /
/ | /
/ | /
/ | /
/ | /
/ | /
/______|___/
A B O

Так как BO=OP и точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, значит, O является серединой BO. Значит, OB равна OP, а значит, треугольники BPO и BAO равнобедренные.

Поскольку треугольники BPO и BAO равнобедренные, то у них равны углы OBP и OAB. Так как AB || CD (параллельны), то у пар взаимнопротивоположных углов OAB и ODC также равны. Соответственно, у взаимнопротивоположных углов OBP и ODC также равны. Значит, треугольники BPO и CDO подобны. То есть, у них также равны углы $(K) BPO$ и (L) CDO.

Из (K) BPO и (L) CDO следует, что у попарно взаимно противоположных углов оба треугольника равны. То есть, BPO и CDO равны.

У BPO равны два угла, а у CDO равны два угла. Но третий угол BOP в треугольнике BPO равен 180 – (5 + 5) = 170 градусов.

Поскольку у треугольника BOP есть два равных угла, третий угол также равен 170 градусов. Значит, третий угол CDO также равен 170 градусам.

То есть, у треугольника CDO есть два равных угла, а третий угол равен 170 градусам. Но у равнобедренного треугольника два равных угла не могут быть больше 90 градусов.

Таким образом, предположение, что OB=OP и BP перпендикулярна AD, является верным и доказано.