Рассмотрим треугольник ABC. Пусть точка D — произвольная точка на прямой m, а точка E — проекция точки D на сторону AB. Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c, а высоту, опущенную из вершины C, как h.
1. Очевидно, что треугольникы ACD и AEB подобны, так как AC || BE и угол ACB является общим. Поэтому отношение их площадей равно квадрату отношения их сторон:
S(ACD) / S(AEB) = (AC / AE)^2.
2. В треугольнике ACD высота CH равна относительной стороне AE, так как AC || BE. Аналогично, высота EH равна отношению AE к AC. Таким образом, высоты EH и CH равны:
EH = CH = AE / AC.
3. Из пропорциональности высот и сторон следует, что S(ACD) / S(AEB) = (AC / AE)^2 = (CH / EH)^2.
4. Так как CH = EH, то (CH / EH)^2 = 1^2 = 1.
5. Следовательно, S(ACD) / S(AEB) = 1, или S(ACD) = S(AEB). Поскольку точка D выбрана произвольно на прямой m, это означает, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.
Таким образом, мы доказали, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.