Для начала, предположим, что четырехугольник ABCD – вписанный четырехугольник, то есть все его вершины лежат на окружности. Обозначим центр этой окружности как O.
Затем, обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD как X. Поскольку ABCD – вписанный четырехугольник, то X является точкой пересечения ортоцентра и центра окружности, а следовательно, OA и OC являются перпендикулярными биссектрисами угла AOC и угла DOC соответственно.
Теперь, рассмотрим треугольники OAM и OCD. Поскольку OA и OC являются перпендикулярными биссектрисами, то угол OMA равен углу ODC, а угол OAM равен углу OCD. Отсюда следует, что треугольники OAM и OCD подобны (по стороне-уголу-стороне) и имеют равные углы, поэтому соответствующие стороны пропорциональны.
Пусть AM = x и CD = y. Тогда, поскольку соответствующие стороны треугольников OAM и OCD пропорциональны, получаем:
OA/OC = AM/CD
OA/OC = x/y
Однако OA и OC являются радиусами окружности. Таким образом, OA = OC, и уравнение принимает вид:
x/y = 1
Следовательно, AM = x = y, а значит, точка M равноудалена от середин сторон AB и CD четырехугольника ABCD.
Доказательство: пусть точка P – середина стороны AD четырехугольника ABCD. Тогда MP – медиана треугольника AMP. По свойству медианы, длина MP меньше половины длины стороны AM, то есть MP < 1/2AM. В итоге, мы доказали, что вписанный четырехугольник ABCD, где MP - точка внутри, обладает свойством, что длина MP меньше половины длины стороны AM, то есть MP < 1/2 AM.