Для доказательства того, что четырёхугольник FEGH является параллелограммом, мы должны показать, что его противоположные стороны параллельны.
Пусть точка M – середина отрезка BE.
Так как BCDE – параллелограмм, то BM = ME, а также CD || BE.
Это означает, что у нас есть две параллельные прямые: CD и BE, и у них есть общая точка M.
Мы также знаем, что AE = HC и BF = DG.
Рассмотрим треугольники CBM и AEM.
У них есть следующие равные стороны и углы:
CB = MA (как противоположные стороны параллелограмма ABCD)
MB = ME (по теореме о середине)
Угол CMB = угол AEM (по вертикальным углам)
Таким образом, треугольники CBM и AEM равны по стороне-стороне-уголу.
Следовательно, противоположные углы FEG и HGE равны, а противоположные стороны FG и EH равны (так как AE = HC и BF = DG).
Таким образом, все условия параллелограмма выполняются для четырехугольника FEGH.
Следовательно, FEGH является параллелограммом.