Для начала построим нашу ситуацию:
1. Пусть О – центр окружности, в которой содержится четырехугольник ABCD.
2. Пусть M – середина отрезка CD.
3. Пусть N – середина отрезка PQ.
Итак, давайте докажем, что N лежит на прямой AC.
Шаг 1: Так как АР = CD, а РМ – это радиус окружности, проведём прямую, параллельную CD и проходящую через точку P. Обозначим эту прямую как l1.
Шаг 2: Аналогично, проведём прямую l2, параллельную BC и проходящую через точку Q.
Шаг 3: Известно, что CD || l1 и BC || l2. Также из условия задачи следует, что AQ = BC и РМ = РN.
Шаг 4: Точки N, M и О образуют медианы треугольника ABC, так как MN || l1 и OM || l2 (или, с другими словами, MN и OM – это радиусы окружности).
Шаг 5: Таким образом, по свойству медиан треугольника, точка N делит медиану MO в отношении 2:1. Но так как M – середина CD, то MO в точности равно AC. Следовательно, N делит AC также в отношении 2:1.
Шаг 6: Из свойств отношения точки деления следует, что точка N лежит на прямой AC.
Таким образом, мы доказали, что середина отрезка РQ лежит на прямой АС.