Пусть сторона треугольника равна a, а высота призмы равна h. Тогда объем призмы можно выразить как V = (1/2) * a * (a√3/2) * h, что равно 54√3.
Тогда выражая h через объем цилиндра V1 и подставляя значения, получим: V1 = (54√3) * 2 / (a^2√3) = 108 / a^2.
Объем цилиндра выражается как V1 = π * r^2 * h. Зная, что объем призмы равен объему цилиндра, можем записать следующее: π * r^2 * h = 108 / a^2.
Обратимся к треугольнику, вписанному в цилиндр. Его высота равна (a√3)/2, а радиус описанной окружности равен a/√3. Таким образом, радиус цилиндра равен r = a/√6.
Подставим это значение в формулу для объема цилиндра и получим: π * (a/√6)^2 * h = 108 / a^2.
Упростим выражение: π * a^2 / 6 * h = 108 / a^2.
Переместим все a^2 в числитель, чтобы получить: π * a^4 / 6 = 108.
Теперь выразим a^4: a^4 = 648 / π.
Возведем обе части в 1/4 степень, чтобы найти a: a = (648 / π)^(1/4).
Теперь, чтобы найти объем цилиндра, подставим найденное значение a в формулу для объема: V1 = π * ((648 / π)^(1/4) / √6)^2 * h = (648 / π)^(1/2) * h / 6.
Теперь найдем значение h, разделив объем призмы на объем цилиндра: h = (54√3) / [(648 / π)^(1/2) / 6].
Подставим найденное значение h в формулу для объема цилиндра и упростим: V1 = (648 / π)^(1/2) * (54√3) / [(648 / π)^(1/2) / 6] / 6.
Таким образом, объем цилиндра равен: V1 = (54√3)^2 / 24, что равно 243√3 / 2 или приближенно 210,5.
