Цилиндр вписан в шар, радиуса 10 см. Образующая цилиндра и диаметр его основания пропорциональны числам 4 и 3. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить суммированием площадей основания и боковой поверхности.

Шаги решения:
1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом сферы, высотой цилиндра и образующей цилиндра.
2. Из задачи известно, что образующая и диаметр основания цилиндра пропорциональны числам 4 и 3. Обозначим диаметр основания цилиндра через d.
3. Треугольник, образованный радиусом сферы, высотой цилиндра и образующей цилиндра, является прямоугольным треугольником с катетами d/2 и 4/3.
4. По теореме Пифагора получаем уравнение: (d/2)^2 + (4/3)^2 = 10^2.
5. Решим это уравнение и найдем значение диаметра основания цилиндра d = 6.4 см.
6. Найдем радиус основания цилиндра r = d/2 = 3.2 см.
7. Площадь основания цилиндра равна площади круга, то есть Sосн = πr^2.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра, то есть Sбок = 2πrh.
9. Обозначим высоту цилиндра через h.
10. Окружность основания цилиндра имеет диаметр d, следовательно, ее длина равна πd.
11. Таким образом, Sбок = 2πrh = 2πd(h/2) = πdh.
12. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади основания и боковой поверхности, то есть Sp = Sосн + Sбок = πr^2 + πdh.
13. Подставляем известные значения радиуса и диаметра основания цилиндра, а также найденное значение h.
14. Вычисляем площадь полной поверхности цилиндра Sp.

Решение:
d = 6.4 см
r = 3.2 см
h = ?

(6.4/2)^2 + (4/3)^2 = 10^2
(3.2)^2 + (4/3)^2 = 100
10.24 + 16/9 = 100
(9 * 10.24 + 16) / 9 = 100
(92.16 + 16) / 9 = 100
108.16 / 9 = 100
h = 108.16 / 9 * 2π * 3.2
h ≈ 12.823 см

Sp = π * (3.2)^2 + π * 6.4 * 12.823
Sp ≈ 32.169 см^2 + 821.329 см^2
Sp ≈ 853.498 см^2

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 853.498 см^2.