Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами треугольника.
1. Поскольку DABC — правильная треугольная пирамида, то каждый боковой треугольник равнобедренный с углами по 60 градусов.
2. Пусть точка E — середина основания ABC. Тогда ОЕ будет осью симметрии треугольной пирамиды DABC.
3. Проведем прямую EF, перпендикулярную основанию ABC.
4. Так как треугольник DAB равнобедренный, то точки F и C совпадают.
5. Для нахождения ребра AD проведем прямую AO из вершины A пирамиды до основания ABC. Так как пирамида DABC — равносторонняя, то AO является медианой треугольника ABC и делит ее на две равные части, поэтому AO = 3.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD, где OD является высотой, а AD — гипотенузой. Из угла 60 градусов следует, что угол ADO равен 30 градусам. Так как OD/AD = sin 30 = 0.5, то OD = AD/2 = 3/2.
7. Рассмотрим треугольник CDE. Он является равносторонним из-за равных длин сторон основания пирамиды. Следовательно, углы CDE и CED равны по 60 градусов. Так как CED — прямой угол, угол CDE равен 180 – 90 – 60 = 30 градусов.
8. Таким образом, треугольник CDE является прямоугольным с катетами CD и DE, где CD = 6/2 = 3 и DE = OD = 3/2.
9. Применяя теорему Пифагора для треугольника CDE, находим длину гипотенузы CE: CE^2 = CD^2 + DE^2 = 3^2 + (3/2)^2 = 9 + 9/4 = 45/4.
10. Так как треугольник CDE равнобедренный, то CE = DE и, следовательно, CE^2 = DE^2 = 45/4.
11. Получаем |CA + BD + AB|^2 = CE^2 = DE^2 = 45/4.
Ответ: |CA + BD + AB|^2 = 45/4.