Дан четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны, а их длины в сумме дают 12. Середины сторон четырёхугольника ABCD последовательно соединили и получили четырёхугольник MNPQ. Найдите наибольшую возможную площадь MNPQ.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическим свойством, которое гласит: “Если две диагонали четырехугольника перпендикулярны и длины их суммируются, то площадь четырехугольника будет максимальна, если он является квадратом.”

Итак, пусть длины диагоналей равны a и b.
Из условия задачи известно, что a^2 + b^2 = 12^2.

Мы хотим найти наибольшую возможную площадь MNPQ.
Заметим, что стороны MNPQ равны половинам сторон ABCD. Обозначим эти стороны как p и q.
Тогда получим, что площадь MNPQ равна p*q.

Диагонали ABCD делят его на 4 прямоугольных треугольника, и пусть эти треугольники имеют высоты h1 и h2.
Тогда, зная, что площадь ABCD равна (1/2)*a*h1 + (1/2)*b*h2, можем записать p*q как (1/2)*p*h1 + (1/2)*q*h2.

Для максимизации площади MNPQ, мы должны максимизировать p и q, которые являются половинами сторон ABCD.
Но так как a^2 + b^2 = 144, можем преобразовать это уравнение следующим образом: (a^2)/4 + (b^2)/4 = 36.
Таким образом, (p^2 + q^2)/4 = 36, или p^2 + q^2 = 144.

Теперь мы знаем, что p^2 + q^2 = 144 и хотим максимизировать p*q.
Мы знаем, что (p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 и (p – q)^2 = p^2 – 2pq + q^2.
Вычитая второе уравнение из первого, получим 4pq = (p + q)^2 – (p – q)^2.
Подставляя p^2 + q^2 = 144, получим 4pq = 192.
Теперь мы можем найти максимальное значение p*q, деля полученную формулу на 4: pq = 48.

Таким образом, максимальная площадь MNPQ равна 48.