Доказательство:
1. Заметим, что куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Все его грани являются прямоугольниками.
2. Рассмотрим плоскость, содержащую диагональ B1D куба ABCDa1b1c1d1. Пусть точка M это середина отрезка B1D.
3. Соединим точки M и A — пусть это отрезок MA.
4. Рассмотрим грань ABCD куба ABCDa1b1c1d1, которая содержит диагональ AC его основания.
5. Очевидно, что в прямоугольнике ABCD диагональ AC является диагональю прямоугольника.
6. Поскольку AC является диагональю прямоугольника ABCD, то она перпендикулярна его грани, содержащей эту диагональ.
7. Обратимся к треугольнику MAB и треугольнику MBC. Они равны соответственно, так как имеют два равных угла и общую сторону MB.
8. Следовательно, по теореме о треугольнике, сторона MA равна стороне MC, и угол MAB равен углу MBC.
9. Так как MA и MC равны и углы MAB и MBC равны, то треугольники MAB и MBC равны по сторонам и углам.
10. Значит, углы BMA и CMB равны между собой.
11. По определению перпендикуляра, две прямые являются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам.
12. Таким образом, из равенства углов BMA и CMB следует, что прямые B1D и AC перпендикулярны друг другу.
13. Наше доказательство завершено: мы показали, что диагональ куба B1D перпендикулярна к диагонали AC его основания.