Дан куб ABCD A1,B1,C1,D1. Нужно определить взаимное расположение данных прямых:
а) С1В1 и BB:
Шаги решения:
1. Найдем уравнения данных прямых.
Прямая С1В1 проходит через точку С1(0, 0, 1) и В1(1, 0, 1), поэтому ее уравнение имеет вид: x = 0 + t(1-0), y = 0 + t(0-0), z = 1 + t(1-1), где t – произвольный параметр.
Прямая BB параллельна оси OY, поэтому ее уравнение имеет вид: x = 1, y = t, z = t, где t – произвольный параметр.
2. Сравним коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях прямых.
x: 0 = 1, уравнения несовместимы.
y: 0 = t, уравнения пересекаются при t = 0.
z: 1 + t(1-1) = t, уравнения несовместимы.
3. Вывод: прямые С1В1 и BB не имеют общих точек, следовательно, они параллельны.
б) BA и D1C1:
Шаги решения:
1. Найдем уравнения данных прямых.
Прямая BA проходит через точку B(1, 0, 0) и A(1, 1, 0), поэтому ее уравнение имеет вид: x = 1 + t(1-1), y = 0 + t(1-0), z = 0 + t(0-0), где t – произвольный параметр.
Прямая D1C1 проходит через точку D1(0, 1, 0) и C1(0, 0, 1), поэтому ее уравнение имеет вид: x = 0 + t(0-0), y = 1 + t(0-1), z = 0 + t(1-0), где t – произвольный параметр.
2. Сравним коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях прямых.
x: 1 + t(1-1) = 0, уравнения несовместимы.
y: 0 + t(1-0) = 1 + t(0-1), уравнения несовместимы.
z: 0 + t(0-0) = 0 + t(1-0), уравнения пересекаются при любом значении t.
3. Вывод: прямые BA и D1C1 пересекаются.
в) BC и C1D1:
Шаги решения:
1. Найдем уравнения данных прямых.
Прямая BC проходит через точку B(1, 0, 0) и C(0, 0, 1), поэтому ее уравнение имеет вид: x = 1 + t(0-1), y = 0 + t(0-0), z = 0 + t(1-0), где t – произвольный параметр.
Прямая C1D1 проходит через точку C1(0, 0, 1) и D1(0, 1, 0), поэтому ее уравнение имеет вид: x = 0 + t(0-0), y = 0 + t(1-0), z = 1 + t(0-1), где t – произвольный параметр.
2. Сравним коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях прямых.
x: 1 + t(0-1) = 0 + t(0-0), уравнения несовместимы.
y: 0 + t(0-0) = 0 + t(1-0), уравнения пересекаются при любом значении t.
z: 0 + t(1-0) = 1 + t(0-1), уравнения пересекаются при любом значении t.
3. Вывод: прямые BC и C1D1 пересекаются.