Дано, что через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых AC и BD. Доказать, что фигуры, отрезанные этими прямыми от квадрата, равны.
Предположим, что первая из этих прямых пересекает стороны AB и CD в точках E и F соответственно, а вторая прямая пересекает стороны AD и BC в точках G и H соответственно.
В силу взаимной перпендикулярности этих прямых, угол AEG прямой, а значит, треугольники AEG и CFG подобны. Аналогично, треугольники BEH и DGH также подобны.
Так как у треугольников, составляющих каждую из фигур, две пары соответствующих углов равны, это означает, что эти две фигуры являются подобными.
Теперь рассмотрим соотношения сторон этих фигур. Найдем соотношение сторон между AEG и CFG. Из подобия треугольников AEG и CFG, получаем:
AE/CF = AE/CG = EG/FG = 1/2.
Так же, для треугольников BEH и DGH получаем:
BE/DG = BE/DH = EH/GH = 1/2.
Отсюда следует, что отношение длины стороны квадрата, отрезанной этими прямыми, к длине стороны самого квадрата, равно 1/2.
Итак, мы доказали, что фигуры, отрезанные этими прямыми от квадрата, являются подобными квадратами со стороной, равной половине стороны исходного квадрата.