Обозначим сторону квадрата как “a”. Тогда стороны треугольника равны “3a” и “2a”. Заметим, что вертикальная линия, проходящая через точку П, делит треугольник на две фигуры, прямоугольный треугольник АПБ и треугольник АПД.
1. Найдем высоту треугольника АПД. Зная соотношение сторон, можно записать:
АД/ДК = 3/2
Заменяя соответствующие стороны на “3a” и “2a”:
3a/2a = 3/2
Таким образом, высота треугольника АПД равна (3/2)*a.
2. Теперь найдем площадь треугольника АПД. Площадь прямоугольного треугольника равна (0.5)*основание*высота. Соответственно, площадь треугольника АПД равна (0.5)*3a*(3/2)*a = (9/4)*a^2.
3. Площадь треугольника АПД должна быть равна площади прямоугольного треугольника АПБ, так как они делятся одной вертикальной линией. Зная площадь прямоугольного треугольника АПБ, можно записать равенство:
(9/4)*a^2 = (0.5)*9*(a/4)^2
4. Решим полученное уравнение относительно “a”:
36a^2 = 9*(a/4)^2
Упрощая:
144a^2 = 9a^2/16
Переносим все члены в левую часть:
144a^2 – 9a^2/16 = 0
2304a^2 – 9a^2 = 0
Факторизуем:
9a^2(256 – 1) = 0
Получаем два решения:
9a^2 = 0 => a = 0 (не подходит)
256a^2 – 9a^2 = 0 => a = 0 или a = 9/16
5. Второе решение “a = 9/16” имеет смысл, так как сторона должна быть положительной и неравной нулю. Значит, сторона квадрата равна 9/16.
6. Для нахождения ПК нам нужно найти остаток стороны треугольника АПД. Поэтому ПК = АД – КД.
АД = (3/2)*a = (3/2)*(9/16) = 27/32
Оставшаяся часть стороны АД равна КД = АД/ДК = (27/32)/(3/2) = 27/64
7. Теперь можем найти ПК:
ПК = АД – КД = 27/32 – 27/64 = 27/64.
Ответ: ПК = 27/64.