Дан квадрат, точка Е на стороне AB, точка на диагонали BD; AE =2BE, BF = 5DF, точка Т — середина отрезка EF. Найдите отношение длин отрезка AT и диагонали квадрата.

Пусть сторона квадрата будет равна a.

1. Найдем длину отрезка AE: так как AE = 2BE, то AE = 2a/3, а BE = a/3.
2. Так как точка Т – середина отрезка EF, то длина отрезка ТЕ равна половине длины EF.
3. Поскольку длина FE равна длине AE + BE (так как AE = 2BE), то FE = AE + BE = 2a/3 + a/3 = a.
4. Так как длина FT равна длине TF, а FT = 1/2 FE = 1/2 a, то FT = 1/2 a.
5. Длина AT равна TE + FT = a/2 + 1/2 a = 3/2 a.
6. Длина диагонали BD равна a√2, поскольку в квадрате диагональ равна стороне, умноженной на √2.
7. Отношение длин AT и BD равно (3/2 a) / (a√2), что упрощается до отношения √2 / 2.

В итоге, отношение длин отрезка AT и диагонали квадрата равно √2 / 2.