Для начала заметим, что сторона AB является общей стороной треугольников ABM и ABC, а сторона AC – общей стороной треугольников ACM и ABC. Это означает, что точки A и M лежат на одной секущей окружности треугольников ABM и ACM.
Далее, по теореме о секущей окружности, угол MAI1 равен половине центрального угла MON, а угол MAI2 равен половине центрального угла NOD, где O – центр описанной окружности треугольника ABC, а D – точка пересечения биссектрис AB и описанной окружности треугольника ABC.
Так как MN является диаметром описанной окружности треугольника ABC, то угол MON равен 90 градусов. Поэтому угол MAI1 также равен половине 90 градусов, то есть 45 градусов. Аналогично, угол MAI2 также равен 45 градусов.
Таким образом, углы MAI1 и MAI2 равны между собой, следовательно, точки I1 и I2 лежат на одной окружности с центром в точке A и радиусом AI1=AI2.
Осталось показать, что точка N тоже лежит на этой окружности. Заметим, что угол NAI1 равен углу NAC, так как угол NAC – это половина центрального угла NOC, а угол NAI1 – половина центрального угла NMI1. Но так как M – середина стороны BC, то угол NMI1 равен 90 градусам, и следовательно, углы NAI1 и NAC также равны между собой.
Аналогично, можно показать, что угол NAI2 равен углу NAB, и следовательно, точка N лежит на окружности с центром в точке A и радиусом AI1=AI2.
Таким образом, доказано, что точки I1, I2, A и N лежат на одной окружности.