Дан правильный тетраэдр SMNK. Найдите квадрат котангенса угла между высотой грани SMN, опущенной из вершины S, и высотой грани MNK, опущенной из вершины K.

Для решения задачи воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:
cos(α) = (a ⋅ b) / (|a| ⋅ |b|),
где a ⋅ b – скалярное произведение векторов a и b,
|a| и |b| – длины векторов a и b.

Правильный тетраэдр SMNK имеет все грани равных размеров и вершины S, M, N, K образуют четырехугольник, обладающий симметрией относительно любой прямой, проходящей через его центр. Поэтому высоты грани SMN и грани MNK совпадают.

Обозначим высоту грани SMN как h. Тогда косинус угла между высотями граней SMN и MNK равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин:
cos(α) = (h ⋅ h) / (|h| ⋅ |h|) = (h^2) / (h^2) = 1.

Так как мы ищем квадрат котангенса угла, то можем воспользоваться формулой:
cot^2(α) = 1 / tan^2(α).

Тангенс угла α равен:

tan(α) = sin(α) / cos(α).

Так как косинус угла α равен 1, то тангенс равен синусу угла. Правильный тетраэдр SMNK вписан в сферу, поэтому синус любого из его углов равен sin(α) = 1 / √3.

Таким образом, квадрат котангенса угла между высотями граней SMN и MNK равен:

cot^2(α) = 1 / tan^2(α) = 1 / (1 / √3)^2 = 3.

Ответ: квадрат котангенса угла между высотой грани SMN, опущенной из вершины S, и высотой грани MNK, опущенной из вершины K, равен 3.