У нас дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, где AB = 2, BC = 4, B₁C = 5. Возьмем точку B в начале координат и построим систему координат с осями BC, BA и B₁B.
Для начала найдем координаты точки O, которая лежит на ребре CC₁ и отстоит от точки C на 1. Так как ось X совпадает с ребром BC, координата X точки O будет равна 4, координата Y будет равна 0 (так как точка O лежит на продолжении ребра BA), а координата Z будет равна 1.
Затем найдем координаты точки E, которая лежит на ребре B₁B и отстоит от точки B₁ на 2. Так как ось Z совпадает с ребром B₁B, координата Z точки E будет равна 5. Координата Y будет равна 0 (так как точка E лежит на продолжении ребра BA), а координата X будет равна -2 (так как точка E отстоит от начала координаты на 2 в противоположную сторону оси X).
Теперь у нас есть координаты точек D₁, С₁, О и E. Чтобы найти угол между векторами D₁В₁ и D₁СС₁, нам нужно найти скалярное произведение этих векторов и затем найти косинус угла между ними. Формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами A и B: cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|), где A * B – скалярное произведение векторов A и B, |A| и |B| – длины векторов A и B.
Вычислим каждое из этих значений:
Вектор D₁В₁ имеет координаты (-2, 0, 5) – (0, 0, 0) = (-2, 0, 5).
Вектор D₁СС₁ имеет координаты (4, 0, 1) – (-2, 0, 1) = (6, 0, 0).
Скалярное произведение D₁В₁ и D₁СС₁:
(-2 * 6) + (0 * 0) + (5 * 0) = -12 + 0 + 0 = -12.
Длина вектора D₁В₁:
√((-2)^2 + 0^2 + 5^2) = √(4 + 0 + 25) = √29.
Длина вектора D₁СС₁:
√(6^2 + 0^2 + 0^2) = √(36 + 0 + 0) = √36 = 6.
Теперь мы можем найти косинус угла между векторами D₁В₁ и D₁СС₁:
cos(θ) = -12 / (√29 * 6).
Наконец, найдем значение угла θ, используя арккосинус:
θ = arccos(-12 / (√29 * 6)).
Вычислив значение, получаем угол θ ≈ 91.3 градусов.
Таким образом, угол между векторами D₁В₁ и D₁СС₁ составляет примерно 91.3 градусов.