Дан равнобедренный треугольник (AB=AC). Точка — центр описанной окружности треугольника , точка — центр вписанной. Точка на стороне такова, что ⊥ . Докажите, что ‖ .

Из равнобедренности треугольника BCD следует, что углы BCD и CBD равны.
Также, поскольку P – центр описанной окружности треугольника BCD, то угол BPD равен 2 углу BCD.
Поскольку углы BCD и CBD равны, то углы BPD и CPD равны.
Так как углы BPD и CPD равны, то треугольники BPD и CPD подобны и стороны BP и CP пропорциональны соответственным сторонам.
То есть, BP/CP = BD/CD. Но BD=CD поскольку треугольник ABC равнобедренный.
Значит, BP=CP, а это значит, что треугольник BCY тоже равнобедренный, так как BY=CY и углы BYC и CYB будут равными.
Из равнобедренности треугольника BCY следует, что BJ – медиана треугольника BCY также будет высотой и перпендикулярна основанию CY (по свойствам равнобедренного треугольника).
То есть, YJ⊥CY.
Теперь, так как проведена перпендикуляр YJ к стороне CY и JP ⊥ DJ, и угол BPD = 2 * угол BCD, то углы YJC и CPD также будут равными.
Таким образом, углы YJC и CPD равны, а значит треугольники YJC и CPD подобны.
По свойству подобных треугольников, углы YCJ и DPC также равны.
То есть, угол YCJ = угол DPC.
Но угол DPC = угол CBD (из равнобедренности треугольника BCD).
Значит, угол YCJ = угол CBD, а это значит, что прямая YJ параллельна стороне BC.