Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=ВС = 4, AC = √10, AM медиана треугольника. Через вершину С проведена плоскость а, параллельная стороне АВ. Прямая АМ пересекает плоскость а в точке К. Найдите расстояние между точками А и К.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС. Поскольку АВ = ВС, то треугольник АВС является прямоугольным треугольником. Также, по теореме Пифагора, AC^2 = AM^2 + MC^2.

Известно, что АВ = ВС = 4, поэтому АС = 2√2 по теореме Пифагора, и MC = √2.

Также, известно, что AC = √10. Подставим значения AC и MC в уравнение AC^2 = AM^2 + MC^2:

(2√2)^2 = AM^2 + (√2)^2
8 = AM^2 + 2
AM^2 = 6
AM = √6

Теперь рассмотрим плоскость а, параллельную стороне АВ, и точку К, в которой прямая АМ пересекает плоскость а. Треугольник АКМ является подобным треугольнику АСМ, так как две его стороны параллельны сторонам треугольника АСМ. Поэтому, мы можем записать следующее отношение сторон:

АК / АС = АМ / АМ

АК / 2√2 = √6 / √6

АК = 2√2

Таким образом, расстояние между точками А и К равно 2√2.