1. Из равностороннего треугольника ABC следует, что все его стороны равны. Пусть AC = BC = AB = a.
2. Из свойств равностороннего треугольника известно, что высота, проведенная из вершины, делит основание пополам. То есть, BD = DC.
3. Обозначим BD = DC = h.
4. В треугольнике BCD применим теорему Пифагора: BC^2 = BD^2 + DC^2.
5. В равностороннем треугольнике BC = a и используя пункт 2, получим a^2 = h^2 + h^2 = 2h^2.
6. Так как AB = 56√3, то a = 56√3.
7. Подставим a в уравнение из пункта 5: (56√3)^2 = 2h^2.
8. Получаем 3 * 56^2 = 2h^2, что приводит к уравнению 3136 = 2h^2.
9. Разделим обе стороны уравнения на 2: h^2 = 1568.
10. Извлечем квадратный корень из обеих сторон: h = √1568.
11. Упростим: √1568 = √(784 * 2) = √(28 * 28 * 2) = 28√2.
12. Получили окончательный ответ: BD = DC = h = 28√2.
Ответ: BD = DC = 28√2.