Построим равносторонний треугольник ABC и окружность с центром O и радиусом 8:
O
/
A —— B —— C
Обозначим точку M в пространстве, равноудаленную от всех вершин треугольника ABC на расстояние 10:
O
/
A —— B —— C
M
Заметим, что точка M лежит на перпендикулярах, проведенных из вершин треугольника ABC к соответствующим сторонам:
O
/
A —— B —— C
|
| M
Пусть D, E и F — середины сторон BC, AC и AB соответственно:
O
/
A —— F —— E —— C
| /
| M D
Треугольники AMF и OMF равны, так как у них равные стороны MF = MO = 8 и угол AMF = OMF = 90 градусов. Аналогично, треугольники DME и OME равны. Поэтому AM = OM = 8, ME = MO = 8 и MD = OD = 4.
Так как треугольник ABC равносторонний, то DE = EF = FD = (1/2)BC = 4.
Треугольник DME — прямоугольный, и мы знаем MD = 4 и ME = 8, поэтому DE — гипотенуза треугольника DME.
Используя теорему Пифагора, находим DE:
DE^2 = MD^2 + ME^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80
DE = √80 = 4√5
Таким образом, расстояние от точки M до плоскости ABC равно 4√5.