1) Для доказательства того, что FN || BC, мы можем использовать свойство параллельных линий, которое гласит, что если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то все прямые, проходящие сквозь обе прямые и перпендикулярные к ним, также параллельны этой плоскости.
Применяя это свойство к нашей задаче, мы замечаем, что BC и AB лежат в плоскости треугольника АВС. Плоскость В, проходящая через BC, не совпадает с плоскостью треугольника АВС, поэтому FN, перпендикулярная к АВ, будет параллельна плоскости В.
2) Чтобы найти длину отрезка FN, мы можем использовать соотношение длин сторон треугольника АВС. Поскольку AB:AF = AC:AN = 9:4, мы можем записать, что AF = AB * 4/9 и AN = AC * 4/9.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AFN для нахождения длины отрезка FN. Имеем:
FN^2 = AF^2 – AN^2 = (AB * 4/9)^2 – (AC * 4/9)^2 = (16/81)(AB^2 – AC^2)
Так как BC и AB лежат в одной плоскости, длина отрезка AB равна длине отрезка BC, то есть AB = BC. Подставляем это в выражение для FN:
FN^2 = (16/81)(BC^2 – AC^2)
Теперь, зная, что BC = 18 см, мы можем вычислить длину отрезка FN, подставив BC = 18 в последнее уравнение и извлекая квадратный корень:
FN = √((16/81)(18^2 – AC^2))
Таким образом, длина отрезка FN равна √((16/81)(324 – AC^2)) см.