Для доказательства параллельности отрезка KM и плоскости а, мы можем воспользоваться свойством сходства треугольников.
1. Пусть точка D – точка пересечения отрезка KM и плоскости а. Тогда мы можем записать, что отрезок АD делит сторону ВС треугольника АВС пропорционально.
В данном случае, так как АК:АС = АМ:МВ = 2:7, то отрезок АD также делит сторону ВС в соотношении 2:7.
2. Рассмотрим треугольники АДМ и ВДК. Они имеют две пары параллельных сторон: АМ // ВК (по условию) и АД // ВД (по свойству перпендикуляра к плоскости).
3. Используя свойство сходства треугольников, мы можем записать, что отношение длин соответствующих сторон этих треугольников равно. То есть, АМ/ВК = АД/ВД.
4. В данной задаче мы знаем, что KM = 3 см. Значит, можем записать АМ/ВК = 3/7.
5. Используя равенство, полученное в пункте 3, можем записать, что 3/7 = АД/ВД.
6. Заметим, что отношение АД/ВД совпадает с отношением АК/СВ (по свойству деления отрезка).
7. Так как АК/АС = АМ/МВ = 2/7, то можем записать, что 2/7 = АД/ВД.
8. Из пункта 5 и пункта 7 следует, что АД/ВД = 3/7 = 2/7. То есть, отношение АД/ВД равно отношению АК/СВ.
9. Из этого следует, что отрезки КМ и АВ параллельны.
10. Для нахождения длины отрезка ВС, нам нужно заметить, что треугольники ВАК и ВМС сходны. Отношение их сторон равно 2:7, как и отношение длин отрезков АК:АС = АМ:МВ. Значит, отрезок СВ равен 7 см (2+5) и отрезок ВС равен 9 см (7+2).