Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 CN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ: МС = 1 : 3. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?

Рассмотрим отрезок МН, который делит сторону АВ в некоторой точке К. Чтобы найти отношение, в котором МН делит сторону АВ, нам необходимо найти отношение длин отрезков АК и КВ.

Для начала, обратимся к отношению длин сторон треугольника:
AC : CN = 2 : 1 (поскольку AC = 2CN) (1)
VM : MC = 1 : 3 (2)

Чтобы использовать эти отношения, увеличим сторону ВС в (2) в 3 раза (в соответствии с отношением длин в (2)):

VM : MC = 1 : 3 –> VM : 3MC = 1 : 1 (3)

Теперь воспользуемся отношением MN : NC = 1 : 3 (в соответствии с (2)). Приравняем отношение длин отрезков MC на обеих сторонах уравнения:

3MC : 9MC = 1 : 3 –> MC : 3MC = 1 : 3 (4)

Сравнивая (3) и (4), получаем отношение VM : 3MC = MN : NC.

Таким образом, отношение, в котором прямая МН делит сторону АВ, равно MN : AK = VM : 3MC = 1 : 3.

Ответ: прямая MN делит сторону АВ в отношении 1 : 3.